Множество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Ключевые тезисы
- Аксиомы: неотрицательность, симметрия, неравенство треугольника.
- Евклид, косинус, Манхэттен, DTW — разные метрики дают разную топологию.
- Часто на вход достаточно матрицы попарных расстояний, а не координат.
Подробный разбор
2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.
1Метрика и её аксиомы
С чего начинается любой TDA-пайплайн.
- истинное значение целевой переменной
- объект: вектор признаков
Выбор метрики — это выбор того, какую форму вы увидите. На одних и тех же данных евклидова и косинусная метрики дают разные комплексы и, следовательно, разные диаграммы персистентности.
| Данные | Разумная метрика |
|---|---|
| числовые признаки | евклидова после стандартизации |
| тексты, эмбеддинги | косинусная |
| временные ряды разной длины | DTW |
| категориальные векторы | Хэмминга, Жаккара |
| графы | расстояние по кратчайшему пути |
Большинству TDA-библиотек достаточно матрицы попарных расстояний — координаты не обязательны. Это позволяет работать с данными, которые вообще не лежат в .
2Подготовка данных для TDA
Масштабирование, выбор признаков и размер выборки.
- Стандартизация обязательна: иначе топология будет описывать признак с наибольшим размахом.
- Отбор признаков: шумные измерения размывают геометрию сильнее, чем в обычном ML.
- Подвыборка: сложность растёт быстро, поэтому 1 000–5 000 точек — типичный практический предел для .
- Нормализация масштаба: для сравнения диаграмм между объектами приведите облака к сопоставимому диаметру.
Связанные темы
Метрические и ядровые методы · Линейная алгебра в ML · Топология данных
Distance90%
Расстояние · Математический справочникМера непохожести объектов — основа кластеризации, k-NN и поиска.
Norm90%
Норма · Математический справочникМера длины вектора; выбор нормы определяет геометрию задачи.
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homology90%
Гомологии · Топологический анализ данныхАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagrams90%
Диаграммы персистентности · Топологический анализ данныхКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Persistence Landscapes90%
Ландшафты персистентности · Топологический анализ данныхПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Betti Numbers90%
Числа Бетти · Топологический анализ данныхРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Mapper90%
Алгоритм Mapper · Топологический анализ данныхСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Linear Algebra70%
Линейная алгебра · ОсновыВекторы и матрицы — способ описать данные и преобразования над ними. Обучение модели почти всегда сводится к последовательности матричных операций.
Vector70%
Вектор · Математический справочникУпорядоченный набор чисел; в ML — представление объекта в пространстве признаков.
Matrix70%
Матрица · Математический справочникПрямоугольная таблица чисел, задающая линейное преобразование или набор объектов.
Eigenvalue70%
Собственное значение · Математический справочникКоэффициент растяжения вдоль направления, которое преобразование не поворачивает.
Eigenvector70%
Собственный вектор · Математический справочникНаправление, сохраняющееся при линейном преобразовании с точностью до масштаба.
PCA70%
Метод главных компонент · Классическое машинное обучениеОртогональная проекция на направления максимальной дисперсии — линейное сжатие с минимальной потерей информации.
k-NN65%
Метод k ближайших соседей · Классическое машинное обучениеЛенивый алгоритм: предсказание — это голосование k ближайших объектов обучающей выборки.
SVM65%
Метод опорных векторов · Классическое машинное обучениеИщет гиперплоскость с максимальным зазором между классами; ядровой трюк добавляет нелинейность без явного перехода в новое пространство.
k-Means65%
k-средних · Классическое машинное обучениеРазбивает объекты на k кластеров, минимизируя суммарное расстояние до центроидов.
Normalization & Standardization65%
Нормализация и стандартизация · ДанныеПриведение признаков к сопоставимым масштабам, без которого расстояния, градиенты и регуляризация работают некорректно.