Превращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Ключевые тезисы
- Позволяют усреднять топологию по выборке и строить статистику.
- Легко дискретизируются в фиксированный .
- Альтернативы: persistence images и betti curves.
Подробный разбор
- сила регуляризации: штраф за сложность модели
- номер или количество: индекс шага, число соседей, кластеров или позиций
Каждой точке диаграммы сопоставляется «домик» — треугольная функция с вершиной посередине жизни. Ландшафт — это -я по величине огибающая всех домиков.
- Ландшафты живут в гильбертовом пространстве: их можно складывать, усреднять и считать по ним статистику.
- После дискретизации по сетке получается фиксированной длины — готовый .
- Альтернативы: persistence images (сглаживание гауссианами и ) и betti curves (число особенностей в зависимости от ε).
Диаграммы нельзя усреднить: среднее мультимножеств не определено. Ландшафты — функции, поэтому их можно складывать и усреднять, а значит, строить и проверять гипотезы о различии двух групп объектов.
- сила регуляризации: штраф за сложность модели
- число объектов в выборке
- суммирование по всем перечисленным элементам
Связанные темы
Топология данных
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homology90%
Гомологии · Топологический анализ данныхАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagrams90%
Диаграммы персистентности · Топологический анализ данныхКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Betti Numbers90%
Числа Бетти · Топологический анализ данныхРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Mapper90%
Алгоритм Mapper · Топологический анализ данныхСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Metric spaces90%
Метрические пространства · Топологический анализ данныхМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Глава «Топологический анализ данных» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.