Persistence Landscapes

Превращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.

Ключевые тезисы

Позволяют усреднять топологию по выборке и строить статистику.
Легко дискретизируются в фиксированный вектор признаков.
Альтернативы: persistence images и betti curves.

Подробный разбор

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Построение ландшафта

Превращаем набор точек в набор функций.

λ_{k} (t) = k - й максимум значений Λ_{(b, d)} (t), Λ_{(b, d)} (t) = max (0, min (t - b, d - t))

Обозначения

$λ$ сила регуляризации: штраф за сложность модели
$k$ номер или количество: индекс шага, число соседей, кластеров или позиций

Каждой точке $(b, d)$ диаграммы сопоставляется «домик» — треугольная функция с вершиной посередине жизни. Ландшафт $λ_{k}$ — это $k$ -я по величине огибающая всех домиков.

Ландшафты живут в гильбертовом пространстве: их можно складывать, усреднять и считать по ним статистику.
После дискретизации по сетке $t$ получается вектор фиксированной длины — готовый признак.
Альтернативы: persistence images (сглаживание гауссианами и растеризация) и betti curves (число особенностей в зависимости от ε).

Статистика по ландшафтам

Зачем нужно гильбертово пространство.

Диаграммы нельзя усреднить: среднее мультимножеств не определено. Ландшафты — функции, поэтому их можно складывать и усреднять, а значит, строить доверительные интервалы и проверять гипотезы о различии двух групп объектов.

λ ˉ (t) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n λ^{(i)} (t)

Обозначения

$λ$ сила регуляризации: штраф за сложность модели
$n$ число объектов в выборке
$\sum$ суммирование по всем перечисленным элементам

Средний ландшафт группы — законный статистический объект

Связанные темы

Топология данных

Ключевые тезисы

Подробный разбор

Построение ландшафта

Статистика по ландшафтам

Связанные темы

Topology basics90%

Simplicial complexes90%

Homology90%

Persistent Homology90%

Persistence Diagrams90%

Betti Numbers90%

Mapper90%

Topological features90%

TDA + Machine Learning90%

TDA + Time Series90%

Metric spaces90%