Алгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Ключевые тезисы
- H₀ — связные компоненты, H₁ — циклы, H₂ — полости.
- Вычисляется как ядро по образу граничных операторов.
- Даёт числовой инвариант, пригодный для сравнения объектов.
Подробный разбор
Гомологии формализуют интуицию «дыры». Цикл — это замкнутая цепь симплексов; граница — цикл, который является краем чего-то заполненного. Дыра — это цикл, который не является границей.
- номер или количество: индекс шага, число соседей, кластеров или позиций
- частная производная — чувствительность к одному аргументу
| Группа | Что считает | Пример |
|---|---|---|
| связные компоненты | число кластеров | |
| циклы (петли) | кольцевая структура, периодичность | |
| полости | пузырь, сферическая оболочка |
Симплексы упорядочиваются по моменту появления в фильтрации, строится граничная над полем , и она приводится к «редуцированному» виду столбцовыми операциями. Пары «столбец — его нижняя ненулевая позиция» дают пары рождение–смерть.
Работа над (сложение по модулю 2) — это не упрощение ради удобства: она достаточна для большинства прикладных задач и радикально ускоряет вычисления.
Связанные темы
Топология данных
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagrams90%
Диаграммы персистентности · Топологический анализ данныхКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Persistence Landscapes90%
Ландшафты персистентности · Топологический анализ данныхПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Betti Numbers90%
Числа Бетти · Топологический анализ данныхРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Mapper90%
Алгоритм Mapper · Топологический анализ данныхСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Metric spaces90%
Метрические пространства · Топологический анализ данныхМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Глава «Топологический анализ данных» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.