Topological Data Analysis
Топологический анализ данных
TDA изучает форму данных: связные компоненты, циклы и полости, которые устойчивы к шуму и не зависят от выбора координат. Это отличительная глава ML Atlas — здесь топология превращается в вектор признаков для обычных моделей.
Topology basicsактуально
Основы топологииТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Metric spacesактуально
Метрические пространстваМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Simplicial complexesактуально
Симплициальные комплексыДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homologyактуально
ГомологииАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Fractal Dimensionактуально
Фрактальная размерностьиз «Динамические системы и фракталы»Число, показывающее, как растёт «объём» объекта при уменьшении масштаба. Для фракталов оно дробное.
Distanceактуально
Расстояниеиз «Математический справочник»Мера непохожести объектов — основа кластеризации, k-NN и поиска.
Persistent Homologyактуально
Персистентные гомологииЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagramsактуально
Диаграммы персистентностиКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Persistence Landscapesактуально
Ландшафты персистентностиПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Betti Numbersактуально
Числа БеттиРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
TDA + Machine Learningновинка
TDA и машинное обучениеТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Seriesновинка
TDA и временные рядыРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Mapperактуально
Алгоритм MapperСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological featuresактуально
Топологические признакиВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
Takens' Theoremактуально
Теорема Такенсаиз «Динамические системы и фракталы»Мост между рядом и динамикой: по одному наблюдаемому сигналу можно восстановить топологию аттрактора системы.
Clusteringактуально
Кластеризацияиз «Обучение без учителя»Разбиение объектов на группы похожих без заранее известных меток.
4 тем показаны здесь из других глав — они подходят по смыслу и открываются в своей главе.