Ранги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Ключевые тезисы
- Простейший и самый интерпретируемый топологический .
- Кривые Бетти показывают их изменение вдоль фильтрации.
- У окружности β₀ = 1, β₁ = 1; у сферы β₀ = 1, β₁ = 0, β₂ = 1.
Подробный разбор
| Объект | |||
|---|---|---|---|
| точка | 1 | 0 | 0 |
| окружность | 1 | 1 | 0 |
| диск | 1 | 0 | 0 |
| сфера | 1 | 0 | 1 |
| тор | 1 | 2 | 1 |
| две отдельные окружности | 2 | 2 | 0 |
Кривая Бетти показывает, как меняется вдоль фильтрации. Такая кривая — компактный и легко объяснимый : «в диапазоне ε от 0.2 до 0.5 в данных устойчиво присутствует один цикл».
Кривая Бетти — просто число особенностей, живых при данном ε. После дискретизации по сетке из 20–50 значений получается , который можно подать в наравне с обычными признаками.
Это хороший стартовый вариант: считается быстро, интерпретируется словами и часто даёт основную часть прироста, который вообще способен дать на ваших данных.
Связанные темы
Топология данных
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homology90%
Гомологии · Топологический анализ данныхАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagrams90%
Диаграммы персистентности · Топологический анализ данныхКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Persistence Landscapes90%
Ландшафты персистентности · Топологический анализ данныхПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Mapper90%
Алгоритм Mapper · Топологический анализ данныхСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Metric spaces90%
Метрические пространства · Топологический анализ данныхМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Глава «Топологический анализ данных» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.