Persistent Homology

Любой выбор одного порога ε произволен: чуть меньше — данные рассыпаются на точки, чуть больше — сливаются в один ком. Персистентные гомологии рассматривают вложенную последовательность комплексов и отслеживают, когда каждая топологическая особенность рождается и когда умирает.

Особенность, живущая долго (большая разность «смерть − рождение»), устойчива к шуму и считается сигналом. Короткоживущие особенности — как правило, шум дискретизации.

Это редкое и очень ценное свойство: малое возмущение данных даёт малое изменение топологического дескриптора. Именно оно позволяет использовать персистентные признаки в машинном обучении, а не только в чистой математике.

from gtda.homology import VietorisRipsPersistence
from gtda.diagrams import PersistenceEntropy

vr = VietorisRipsPersistence(homology_dimensions=[0, 1, 2])
diagrams = vr.fit_transform(point_clouds)       # (n_samples, n_features, 3)
features = PersistenceEntropy().fit_transform(diagrams)
# features -> обычная матрица признаков для любой ML-модели

• Сложность в худшем случае экспоненциальна по размерности, но Ripser и алгоритмы с редукцией матрицы делают $H_0$ и $H_1$ практичными на тысячах точек.
• Обычно ограничиваются размерностями 0 и 1 — они дают почти весь полезный сигнал.
• Для больших выборок используют подвыборку (witness-комплексы) или сжатие по плотности.