Каждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Ключевые тезисы
- Расстояние от точки до диагонали = устойчивость особенности.
- Сравниваются метриками bottleneck и Wasserstein.
- Диаграмма — мультимножество, поэтому напрямую в ML-модель не подаётся.
Подробный разбор
По горизонтали откладывают рождения, по вертикали — смерти. Все точки лежат выше диагонали (умереть раньше, чем родиться, нельзя). Расстояние до диагонали = время жизни = устойчивость особенности.
- Точки у диагонали — шум.
- Одиночная точка высоко над диагональю — уверенный цикл в данных.
- Несколько долгоживущих точек — данные распадаются на кластеры.
- коэффициент, управляющий вкладом дальних членов
- вероятность (или плотность распределения)
- норма — длина вектора
Диаграмма — это мультимножество точек переменного размера. В таком виде её нельзя подать в : нужна векторизация — ландшафты, образы, .
- коэффициент, управляющий вкладом дальних членов
- объект: вектор признаков
- вероятность (или плотность распределения)
- суммирование по всем перечисленным элементам
- норма — длина вектора
- Bottleneck () смотрит только на худшее несовпадение — устойчив, но грубоват.
- Wasserstein учитывает все точки: чувствительнее к общей структуре, чаще используется как .
- Точки могут «сопоставляться с диагональю» — так формализуется рождение и исчезновение шумовых особенностей.
Связанные темы
Топология данных
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homology90%
Гомологии · Топологический анализ данныхАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Landscapes90%
Ландшафты персистентности · Топологический анализ данныхПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Betti Numbers90%
Числа Бетти · Топологический анализ данныхРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Mapper90%
Алгоритм Mapper · Топологический анализ данныхСтроит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Metric spaces90%
Метрические пространства · Топологический анализ данныхМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
Глава «Топологический анализ данных» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.