Fractal Dimension

Число, показывающее, как растёт «объём» объекта при уменьшении масштаба. Для фракталов оно дробное.

D = ε \to 0 lim \frac{lo g N ( ε )}{;;} \frac{;;}{lo g ( 1/ ε )}

Что означает каждый компонент

$N (ε)$ сколько клеток размера ε нужно, чтобы покрыть объект
$lo g (1/ ε)$ логарифм масштаба. Наклон прямой в лог-лог осях и есть размерность — для фракталов дробная

Ключевые тезисы

Box-counting: считаем число клеток размера ε, покрывающих объект, и смотрим наклон в лог-лог осях.
Корреляционная размерность оценивается прямо по временному ряду.
Дробная размерность — количественный признак сложности сигнала, пригодный как признак для модели.

Тема также относится к главам:Топологический анализ данныхМатематическая база

Подробный разбор

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Метод box-counting

Как посчитать размерность по данным.

Покрыть объект сеткой с ячейкой размера ε.
Посчитать число непустых ячеек $N (ε)$ .
Повторить для набора масштабов ε.
Построить $lo g N$ против $lo g (1/ ε)$ ; наклон прямой — размерность.

def box_dimension(points, scales):
    counts = []
    for eps in scales:
        cells = {tuple((p // eps).astype(int)) for p in points}
        counts.append(len(cells))
    return np.polyfit(np.log(1 / scales), np.log(counts), 1)[0]

Размерность как признак

Практическое применение в ML.

Корреляционная размерность, посчитанная по скользящему окну ряда, работает как признак сложности сигнала. Её изменение часто предшествует смене режима — так её используют в мониторинге оборудования и анализе ЭЭГ.

На практике

Считайте её на нормализованных данных: размерность чувствительна к масштабу осей, как и любой метод, опирающийся на расстояния.

Связанные темы

Фракталы и самоподобие

Ключевые тезисы

Подробный разбор

Метод box-counting

Размерность как признак

Связанные темы

Fractals85%

Mandelbrot Set85%

Self-similarity85%

1/f Noise85%

Topology basics85%

Power Law85%