КабинетПоиск
Динамические системы и фракталы

Takens' Theorem

Теорема Такенса

актуальноТекущий рабочий стандарт

Направления: Продвинутый ML · Научный ML

Мост между рядом и динамикой: по одному наблюдаемому сигналу можно восстановить топологию системы.

Что означает каждый компонент
  • текущее значение ряда
  • задержка: выбирается по первому минимуму взаимной информации
  • размерность вложения: сколько задержанных копий берём. При достаточном m топология аттрактора восстанавливается

Ключевые тезисы

  • Вложение с задержкой превращает скалярный ряд в в фазовом пространстве.
  • Параметры: τ (первый минимум взаимной информации) и размерность m (метод ложных соседей).
  • Дальше к облаку применяют , оценку размерности или показателя Ляпунова.

Подробный разбор

2 подтемы — объяснения, формулы, примеры и интерактивные графики.

  • Задержка τ: первый минимум взаимной информации между и (или первый ноль ).
  • Размерность m: метод ложных — увеличиваем m, пока доля «ложных» соседей не упадёт почти до нуля.
  • Теорема гарантирует корректность при , где — размерность .
времяyлагACF
ACF(1)0.76
ACF(12)0.55
стационарностьправдоподобна
ACF помогает выбрать τ: слишком малое даёт вырожденное облако, слишком большое — разорванное

  1. Нарезать ряд скользящими окнами.
  2. В каждом окне построить вложение Такенса.
  3. Посчитать топологические (персистентная , числа Бетти) и/или размерность и показатель Ляпунова.
  4. Подать полученные в обычную модель вместе со статистическими.
На практике

Такой особенно хорошо работает на физиологических и вибрационных сигналах, где смена режима меняет геометрию траектории раньше, чем средние значения.

Тема также относится к главам:Временные рядыСвойства рядаТопологический анализ данныхПрименение

Связанные темы

Хаос и предел предсказуемости

Logistic Map80%

Логистическое отображение · Динамические системы и фракталы

Простейшая формула, порождающая хаос: следующее значение равно r·x·(1−x). Модель роста популяции с ограниченным ресурсом.

Bifurcations80%

Бифуркации · Динамические системы и фракталы

Качественная перестройка поведения системы при плавном изменении параметра: одно равновесие сменяется двумя, цикл удваивает период.

Feigenbaum Constant80%

Постоянная Фейгенбаума · Динамические системы и фракталы

Универсальное число δ ≈ 4.669, описывающее скорость каскада удвоений периода. Одинаково для огромного класса совершенно разных систем.

Chaos80%

Детерминированный хаос · Динамические системы и фракталы

Полностью детерминированная система, поведение которой невозможно предсказать надолго из-за чувствительности к начальным условиям.

Lyapunov Exponent80%

Показатель Ляпунова · Динамические системы и фракталы

Мера скорости разбегания близких траекторий. Положительное значение — признак хаоса.

Attractors80%

Аттракторы · Динамические системы и фракталы

Множество, к которому стремятся траектории системы: точка, цикл, тор или странный аттрактор фрактальной структуры.

TDA + Time Series80%

TDA и временные ряды · Топологический анализ данных

Ряд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.

Anomaly detection80%

Поиск аномалий во времени · Временные ряды

Обнаружение точечных выбросов, сдвигов уровня и аномальных подпоследовательностей.

Stationarity80%

Стационарность · Временные ряды

Постоянство статистических свойств ряда во времени — предпосылка большинства классических моделей.

Следующий шагДальше по связи: Logistic MapПростейшая формула, порождающая хаос: следующее значение равно r·x·(1−x). Модель роста популяции с ограниченным ресурсом.Перейти →
← 1/f NoiseComplex Systems →

Глава «Динамические системы и фракталы» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.