Fundamental and Essential Matrix

Пусть камеры калиброваны и лучи заданы в их собственных системах. Вектор от первого центра к точке, вектор от второго центра к той же точке и вектор между центрами лежат в одной плоскости. Компланарность записывается смешанным произведением, равным нулю, — и после переноса в единую систему координат превращается в матричное условие.

Переход к пикселям добавляет матрицы внутренних параметров, и существенная матрица превращается в фундаментальную.

Каждое соответствие даёт одно линейное уравнение относительно девяти элементов $F$. Восьми пар хватает, чтобы найти решение с точностью до масштаба: собираем матрицу $A$, берём правый сингулярный вектор с наименьшим сингулярным числом.

1. Нормализовать координаты: сдвинуть центр в среднее, отмасштабировать так, чтобы среднее расстояние было √2.
2. Собрать систему $Af=0$ по всем парам и решить через SVD.
3. Наложить ограничение ранга: обнулить наименьшее сингулярное число $F$.
4. Вернуться к исходным координатам обратной нормализацией.

Шаг нормализации выглядит косметическим, но без него алгоритм бесполезен. Координаты пикселей — это сотни и тысячи, их произведения — миллионы, а единицы в последнем столбце остаются единицами. Число обусловленности $A$ достигает $10^8$, и решение тонет в ошибках округления.

Разложение $E$ через SVD даёт четыре комбинации поворота и направления сдвига: два возможных поворота и два знака сдвига. Все четыре одинаково хорошо удовлетворяют алгебраическому уравнению.

Отсеивает лишнее физика: точка должна находиться перед обеими камерами. Триангулируйте одну надёжную пару для каждого из четырёх вариантов и оставьте тот, где глубина положительна в обеих системах координат.