Autocorrelation — Автокорреляция

Связь ряда с собственными прошлыми значениями — главный источник признаков и диагностики.

Ключевые тезисы

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Два графика, по которым подбирают порядки модели.

ρ_{k} = \frac{\sum _{t = k + 1}^{T} ( y _{t} - y ˉ ) ( y _{t - k} - y ˉ )}{\sum _{t = 1}^{T} ( y _{t} - y ˉ ) ^{2}}

Обозначения

Поведение	ACF	PACF	Вывод
AR(p)	затухает плавно	обрыв после лага $p$	берём $p$ по PACF
MA(q)	обрыв после лага $q$	затухает плавно	берём $q$ по ACF
ARMA	затухает	затухает	перебор по AIC/BIC

ACF(1)0.76

ACF(12)0.55

стационарностьправдоподобна

Коэффициент AR(1) φ0.70Сезонность (период 12)0.6Тренд0.0

Увеличьте φ — ACF затухает медленнее; добавьте сезонность — появятся пики на лаге 12

Главная проверка любой модели ряда.

Если в остатках модели осталась автокорреляция, значит в данных остался неиспользованный сигнал. Тест Люнга — Бокса проверяет сразу группу лагов.

Q = n (n + 2) k = 1 \sum h \frac{ρ ^ _{k}^{2}}{n - k} \sim χ_{h - p - q}^{2}

Обозначения

На практике

Большое p-value здесь — хорошая новость: остатки неотличимы от белого шума.

Прогнозирование рядов

Постоянство статистических свойств ряда во времени — предпосылка большинства классических моделей.

Классическое семейство: авторегрессия, скользящее среднее ошибок и их комбинация с дифференцированием.

ARIMA с явными сезонными компонентами — для рядов с недельной, месячной или годовой периодикой.

Взвешивание прошлых наблюдений с экспоненциально убывающими весами; модель Хольта — Винтерса добавляет тренд и сезонность.

Аддитивная модель тренда, сезонностей и праздников с упором на удобство для аналитика.

Ряд превращается в табличную задачу: лаги, скользящие статистики, календарь — и дальше градиентный бустинг.

Нейросети, обучаемые сразу на множестве связанных рядов, улавливают общие паттерны.

Внимание над длинными горизонтами: Informer, Autoformer, PatchTST, TFT.