Fractals — Фракталы

Объекты, устроенные одинаково на разных масштабах. Их размерность дробна, а длина зависит от линейки измерения.

Ключевые тезисы

Парадокс береговой линии: чем мельче шаг измерения, тем длиннее берег.
Классические примеры: снежинка Коха, треугольник Серпинского, множество Кантора.
Фрактальность встречается в природе (сосуды, лёгкие, рельеф) и в финансовых рядах.

Подробный разбор

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Классические фракталы

Три примера, на которых всё понятно.

Объект	Правило	Размерность
Множество Кантора	выбрасываем среднюю треть	$lo g 2/ lo g 3 \approx 0.63$
Снежинка Коха	заменяем среднюю треть на «домик»	$lo g 4/ lo g 3 \approx 1.26$
Треугольник Серпинского	выбрасываем средний треугольник	$lo g 3/ lo g 2 \approx 1.58$

Общее у них одно: бесконечная детализация при конечном размере и дробная размерность — объект «больше» линии, но «меньше» плоскости.

Фрактальность в данных

Где это встречается в прикладных задачах.

Финансовые ряды: приращения обладают статистическим самоподобием на разных таймфреймах.
Сетевой трафик: всплески выглядят одинаково на секундах, минутах и часах — это ломает пуассоновские модели ёмкости.
Изображения: фрактальная размерность текстуры — рабочий признак в анализе материалов и медицинских снимков.
Биология: ветвление сосудов и бронхов, структура нейронных сетей.

Связанные темы

Фракталы и самоподобие

Mandelbrot Set85%

Множество Мандельброта · Динамические системы и фракталы

Множество параметров c, при которых итерации z → z² + c не уходят в бесконечность. Простейшее правило, дающее бесконечно сложную границу.

Fractal Dimension85%

Фрактальная размерность · Динамические системы и фракталы

Число, показывающее, как растёт «объём» объекта при уменьшении масштаба. Для фракталов оно дробное.

Self-similarity85%

Самоподобие · Динамические системы и фракталы

Свойство структуры повторять себя на разных масштабах — точно или статистически.

1/f Noise85%

Розовый шум 1/f · Динамические системы и фракталы

Сигнал, спектральная плотность которого убывает обратно пропорционально частоте. Встречается в электронике, музыке, трафике и нейронной активности.

Topology basics85%

Основы топологии · Топологический анализ данных

Топология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.

Power Law85%

Степенное распределение · Теория вероятностей и распределения

Плотность убывает как степень: редкие события встречаются намного чаще, чем предсказывает нормальный закон. Распределения Парето и Ципфа — его классические формы.