Lyapunov Exponent

Мера скорости разбегания близких траекторий. Положительное значение — признак хаоса.

λ = t \to \infty lim \frac{1}{t} ln \frac{∣ δ x ( t ) ∣}{;;} \frac{;;}{∣ δ x ( 0 ) ∣}

Что означает каждый компонент

$∣ δ x (t) ∣$ расстояние между двумя близкими траекториями через время t
$∣ δ x (0) ∣$ исходное различие начальных условий. Положительное λ означает экспоненциальное разбегание — хаос

Горизонт предсказуемости примерно равен ln(допустимая ошибка / точность) / λ

Ключевые тезисы

Горизонт предсказуемости примерно обратно пропорционален показателю.
Оценивается по данным без знания уравнений — метод Розенштейна.
Позволяет честно ответить, имеет ли смысл прогноз ряда на много шагов вперёд.

Тема также относится к главам:Временные рядыСвойства ряда

Подробный разбор

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Смысл и горизонт предсказуемости

Как перевести показатель в число дней.

T_{предсказуемости} \approx \frac{1}{λ} ln \frac{Δ _{допустимое}}{Δ _{0}}

Обозначения

$λ$ показатель Ляпунова: скорость разбегания близких траекторий
$Δ$ постоянная Фейгенбаума ≈ 4.669
$lo g$ логарифм: превращает произведения в суммы и сжимает масштаб

Пример

Если точность измерения $1 0^{- 6}$ , допустимая ошибка $1 0^{- 1}$ и $λ = 0.5$ на шаг, то горизонт $\approx ln (1 0^{5}) /0.5 \approx 23$ шага. Дальше прогноз бессмыслен независимо от модели.

Оценка по ряду

Как посчитать без знания уравнений.

Построить вложение Такенса по наблюдаемому ряду.
Для каждой точки найти ближайшего соседа в фазовом пространстве.
Проследить, как растёт расстояние между их траекториями.
Наклон логарифма расстояния по времени и есть оценка $λ$ (метод Розенштейна).

На практике

Оценка чувствительна к шуму и длине ряда: для надёжного результата нужны тысячи точек и предварительное сглаживание.

Связанные темы

Хаос и предел предсказуемости

Ключевые тезисы

Подробный разбор

Смысл и горизонт предсказуемости

Оценка по ряду

Связанные темы

Logistic Map80%

Bifurcations80%

Feigenbaum Constant80%

Chaos80%

Attractors80%

Takens' Theorem80%

TDA + Time Series80%

Anomaly detection80%

Stationarity80%