Уравнения, связывающие функцию с её производными. Описывают динамику — от роста популяций до обратного процесса в диффузионных моделях.
- скорость изменения состояния во времени
- правило, задающее эту скорость. Градиентный спуск — численное решение уравнения dw/dt = −∇L
Ключевые тезисы
- Градиентный поток — непрерывный предел градиентного спуска.
- Neural ODE задаёт слой сети как решение дифференциального уравнения.
- Сэмплирование в диффузионных моделях — численное решение обратного SDE или ODE.
Подробный разбор
2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.
1Градиентный поток
Непрерывный взгляд на обучение.
- веса модели — то, что подбирается при обучении
- значение, к которому стремится выражение (предел)
- градиент: вектор частных производных
Такой взгляд объясняет, почему слишком большой шаг расходится: явная схема Эйлера устойчива только при достаточно малом шаге относительно кривизны. Отсюда же — идеи неявных и адаптивных схем в оптимизаторах.
2Neural ODE и диффузия
Дифференциальные уравнения как слой модели.
- Neural ODE: скрытое состояние определяется уравнением , а «глубина» становится непрерывной.
- Диффузия: обратный процесс — это стохастическое дифференциальное уравнение, а быстрые солверы (DDIM, DPM-Solver) — численные методы его решения.
- Continuous normalizing flows используют то же уравнение для вычисления плотности.
Связанные темы
Аппарат анализа
Limits and Continuity85%
Пределы и непрерывность · Математический анализПредел описывает, к чему стремится функция вблизи точки. На этом понятии держатся производная, интеграл и вся теория сходимости алгоритмов.
Derivative85%
Производная · Математический анализСкорость изменения функции: предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрически — наклон касательной.
Differentiation Rules85%
Правила дифференцирования · Математический анализСумма, произведение, частное и композиция — четыре правила, которых достаточно, чтобы продифференцировать почти любую функцию потерь вручную.
Taylor Series85%
Ряд Тейлора · Математический анализПриближение функции многочленом по производным в точке. Инструмент, которым обосновывают почти все методы оптимизации.
Multivariable Calculus85%
Многомерный анализ · Математический анализФункции многих переменных: частные производные, градиент, производная по направлению и линии уровня.
Jacobian85%
Якобиан · Математический анализМатрица частных производных векторной функции. Описывает, как преобразование растягивает пространство локально.
Lagrange Multipliers85%
Множители Лагранжа · Математический анализМетод условной оптимизации: минимизировать функцию при ограничениях, не решая их подстановкой.
Convexity85%
Выпуклость · Математический анализСвойство функции, гарантирующее единственность минимума и сходимость градиентных методов.
Numerical Differentiation85%
Численное дифференцирование · Математический анализПриближение производной конечными разностями: медленно и неточно, но незаменимо для проверки аналитических градиентов.
Series and Convergence85%
Ряды и сходимость · Математический анализКогда бесконечная сумма имеет конечное значение и с какой скоростью алгоритм приближается к ответу.
Integral85%
Интеграл · Математический анализОпределённый интеграл — площадь под кривой, неопределённый — обратная операция к дифференцированию. В ML интеграл почти всегда означает математическое ожидание.
Calculus85%
Математический анализ · ОсновыПроизводные показывают, как изменится ошибка при малом изменении параметра. Именно это делает возможным градиентное обучение.
Gradient85%
Градиент · Математический справочникВектор частных производных, указывающий направление наибыстрейшего роста функции.
Hessian85%
Гессиан · Математический справочникМатрица вторых производных, описывающая локальную кривизну функции.
Backpropagation85%
Обратное распространение ошибки · Глубокое обучениеЭффективное вычисление градиентов по всем параметрам сети за один обратный проход с помощью правила цепочки.