Свойство функции, гарантирующее единственность минимума и сходимость методов.
- любая точка отрезка между x и y
- соответствующая точка хорды. График всегда не выше хорды — отсюда единственность минимума
Ключевые тезисы
- Дважды дифференцируемая функция выпукла, если её положительно полуопределён.
- Сумма выпуклых функций выпукла — поэтому регуляризованная линейная модель остаётся задачей.
- невыпукла, но в высокой размерности плохих локальных минимумов мало.
Подробный разбор
- Определение через отрезок: график не выше хорды.
- Первый порядок: — касательная лежит под графиком.
- Второй порядок: положительно полуопределён во всех точках.
Полезные правила композиции: неотрицательная сумма выпуклых выпукла, максимум выпуклых выпукл, невозрастающая от вогнутой выпукла. Этого хватает, чтобы разобрать почти любую .
| Задача | Выпукла? | Следствие |
|---|---|---|
| + | да | единственное решение, есть формула |
| да | глобальный оптимум гарантирован | |
| Линейный | да | двойственная задача решается точно |
| нет | результат зависит от инициализации и сида | |
| нет | нужны несколько запусков |
Видеолекции
Тайм-кода именно на эту тему в записях нет. Но глава «Математический анализ» разобрана в курсе целиком — с той оговоркой, что место в записи придётся искать самому.
Связанные темы
Аппарат анализа
Limits and Continuity85%
Пределы и непрерывность · Математический анализПредел описывает, к чему стремится функция вблизи точки. На этом понятии держатся производная, интеграл и вся теория сходимости алгоритмов.
Derivative85%
Производная · Математический анализСкорость изменения функции: предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрически — наклон касательной.
Differentiation Rules85%
Правила дифференцирования · Математический анализСумма, произведение, частное и композиция — четыре правила, которых достаточно, чтобы продифференцировать почти любую функцию потерь вручную.
Taylor Series85%
Ряд Тейлора · Математический анализПриближение функции многочленом по производным в точке. Инструмент, которым обосновывают почти все методы оптимизации.
Multivariable Calculus85%
Многомерный анализ · Математический анализФункции многих переменных: частные производные, градиент, производная по направлению и линии уровня.
Jacobian85%
Якобиан · Математический анализМатрица частных производных векторной функции. Описывает, как преобразование растягивает пространство локально.
Lagrange Multipliers85%
Множители Лагранжа · Математический анализМетод условной оптимизации: минимизировать функцию при ограничениях, не решая их подстановкой.
Numerical Differentiation85%
Численное дифференцирование · Математический анализПриближение производной конечными разностями: медленно и неточно, но незаменимо для проверки аналитических градиентов.
Series and Convergence85%
Ряды и сходимость · Математический анализКогда бесконечная сумма имеет конечное значение и с какой скоростью алгоритм приближается к ответу.
Integral85%
Интеграл · Математический анализОпределённый интеграл — площадь под кривой, неопределённый — обратная операция к дифференцированию. В ML интеграл почти всегда означает математическое ожидание.
Differential Equations85%
Дифференциальные уравнения · Математический анализУравнения, связывающие функцию с её производными. Описывают динамику — от роста популяций до обратного процесса в диффузионных моделях.
Calculus85%
Математический анализ · ОсновыПроизводные показывают, как изменится ошибка при малом изменении параметра. Именно это делает возможным градиентное обучение.
Gradient85%
Градиент · Математический справочникВектор частных производных, указывающий направление наибыстрейшего роста функции.
Hessian85%
Гессиан · Математический справочникМатрица вторых производных, описывающая локальную кривизну функции.
Backpropagation85%
Обратное распространение ошибки · Глубокое обучениеЭффективное вычисление градиентов по всем параметрам сети за один обратный проход с помощью правила цепочки.
Глава «Математический анализ» последний раз правилась . Нашли ошибку — напишите.